Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

3-

F x , y = 6 x + 5 y i + 5 x + 4 y j

Passo 1

Para ser conservativo temos que verificar a igualdade:

∂ 6 x + 5 y ∂ y = ∂ 5 x + 4 y ∂ x

Isso nos dá:

5 = 5

Logo F é um campo conservativo.

Passo 2

Agora vamos encontrar uma função potencial f tal que f x = 6 x + 5 y e f y = 5 x + 4 y isso nos dá uma função F que se integrarmos f x em x igual a:

F = 3 x 2 + 5 y x + K

Onde K é uma função em relação a y (que não aparecerá na f x ) .

Agora se derivarmos essa função F em y temos:

f y = 0 + 5 x + K y

Dessa forma se compararmos as duas funções temos que K y = 4 y , logo K = 2 y 2 (basta integrar em y então a função F será:

F = 3 x 2 + 5 y x + 2 y 2 + C

Onde C é um valor constante qualquer.

Resposta

Campo conservativo.

Campo potencial igual a:

F = 3 x 2 + 5 y x + 2 y 2 + C

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →
Calcule o rotacional. F → x , y , z =x i → + y j → + x z k →
Calcule o rotacional. F → x , y , z =- y i → + x j → + z k →
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional. F → x , y , z = x 2 + y 2 i →