Enunciado

Encontre os máximos, minimos e pontos de sela de f ( x , y ) , se existirem, dadosa. f x = 2 x - 4 y e f y = 2 y - 4 x b. f x = 2 x - 2 e f y = 2 y - 4 c. f x = 9 x 2 - 9 e f y = 2 y + 4 Descreva seu raciocínio em cada caso.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolvermos este exercício, precisamos encontrar os valores máximos, mínimos e de sela de f ( x , y ) , se houver, dado que(a) f x ( x , y ) = 2 x - 4 y , f y ( x , y ) = 2 y - 4 x (b) f x ( x , y ) = 2 x - 2 , f y ( x , y ) = 2 y - 4 (c) f x ( x , y ) = 9 x 2 - 9 , f y ( x , y ) = 2 y + 4 Vamos ver como isso é possível? Então, acompanhe!

Passo 2

Step 2 of 8 人(a)Em primeiro lugar, reescrevendo a equações, temos:

f x ( x , y ) = 2 x - 4 y = 0 f y ( x , y ) = 2 y - 4 x = 0

E resolvendo o sistema, observamos que:

x = 0 y = 0

Temos, então, o ponto ( 0,0 ) .

Passo 3

Veja que as segundas derivadas aplicadas no ponto encontrado valem:

f x x ( 0,0 ) = 2 f y y ( 0,0 ) = 2 f x y ( 0,0 ) = - 4

Assim, f x x f y y - f x y 2 valerá:

f x x f y y - f x y 2 = - 12 < 0

Desse modo, temos um ponto de sela em ( 0,0 ) .

Passo 4

(b)Agora, reescrevendo a equações, temos:

f x ( x , y ) = 2 x - 2 = 0 f y ( x , y ) = 2 y - 4 = 0

Resolvendo o sistema, observamos que:

x = 1 y = 2

Temos então o ponto ( 1,2 ) .

Passo 5

Observe que as segundas derivadas aplicadas no ponto encontrado valem:

f x y ( 1,2 ) = 2 f y y ( 1,2 ) = 2 f x y ( 1,2 ) = 0

Assim, f x x f y y - f x y 2 valerá:

f x x f y y - f x y 2 = 4 > 0 f x x > 0

Temos, então, um ponto local mínimo em ( 1,2 ) .

Passo 6

(c)Por fim, eeescrevendo a equações, temos:

f x ( x , y ) = 9 x 2 - 9 = 0 f y ( x , y ) = 2 y + 4 = 0

E resolvendo o sistema observamos que:

x = ± 1 y = - 2

Veja que encontramos os pontos.

Passo 7

As segundas derivadas aplicadas nos pontos encontrados valem:

Para ( 1 , - 2 ) :

f x x ( 1 , - 2 ) = 18 x ( 1 , - 2 ) = 18 f y y ( 1 , - 2 ) = 2 f x y ( 1 , - 2 ) = 0

Assim, f x x f y y - f x y 2 valerá:

f x x f y y - f x y 2 = 36 > 0 f x x > 0

Ou seja, temos um ponto local mínimo em ( 1 , - 2 ) .Para ( - 1 , - 2 ) :

f x x ( - 1 , - 2 ) = - 18 f y y ( - 1 , - 2 ) = 2 f x y ( - 1 , - 2 ) = 0

Assim, f x x f y y - f x y 2 valerá:

f x x f y y - f x y 2 = - 36 < 0

Então, temos um ponto de sela em ( - 1 , - 2 ) .

Resposta

Resposta nos passos.

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Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. f x , y = x y 2D = x , y x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,x 2 + y 2 ≤ 3 }