Enunciado

Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante que é limitado pelos planos y = x , z = 0 e z = x e pelo cilindo y = cos ⁡ x . (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de interseção.)

Passo 1

A “tampa” superior do sólido é z = x e a “tampa” inferior é o plano x y , dado por z = 0 . Assim, o volume será a integral

V = ∬ D x   d A

onde D é o domínio de integração, delimitado pelas curvas y = x e y = cos ⁡ x no primeiro quadrante do plano x y :

Assim, o volume será

V = ∫ 0 0,739 ∫ 0 x x   d y   d x + ∫ 0,739 π ∫ 0 cos ⁡ x x   d y   d x

Passo 2

Efetuando a integral em y :

V = ∫ 0 0,739 x 2   d x + ∫ 0,739 π x cos ⁡ x   d x

Assim, lembrando que a primitiva de x cos ⁡ x é x   s e n   x + cos ⁡ x , temos que

V = x 2 3 0 0,739 + x   s e n   x + cos ⁡ x 0,739 π = 0,4685

Resposta

0 , 4685

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