Enunciado

Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.

Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .

Passo 1

Para identificar o domínio de integração, vamos fazer x 2 + y 2 = 2 y . Assim,

x 2 + y 2 - 2 y = 0 ⇒ x 2 + y - 1 2 = 1

Trata-se de uma circunferência:

Assim, o domínio de integração é

D = x , y ∈ R 2     1 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 + 1 - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1 }

Portanto,

V = ∬ D 2 y - x 2 + y 2   d A

Assim,

V = ∫ - 1 1 ∫ 1 - 1 - x 2 1 + 1 - x 2 2 y - x 2 - y 2   d y   d x

Passo 2

Fazendo a integral exata usando uma calculadora gráfica:

V = π 2

Resposta

π 2

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