Enunciado

Encontre o volume aproximado do sólido no primeiro octante limitado pelos planos y = x , z = 0 e z = x e pelo cinlindor y = cos ⁡ x . (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de interesecção.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar as curvas para identificar os pontos de intersecção:

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | x ≤ y ≤ cos ⁡ x   , 0 ≤ x ≤ 0,739  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 0,739 ∫ x cos ⁡ x f ( x , y ) d y d x

Como f x , y = z , temos:

V = ∫ 0 0,739 ∫ x cos ⁡ x x d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ x cos ⁡ x x d y = x y x cos ⁡ x

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ x cos ⁡ x x d y = x cos ⁡ x - x

∫ x cos ⁡ x x d y = x cos ⁡ x - x 2

Logo, substituindo, temos:

∫ 0 0,739 ∫ x cos ⁡ x x d y d x = ∫ 0 0,739 x cos ⁡ x - x 2 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

∫ 0 0,739 x cos ⁡ x - x 2 d x

Assim, lembrando que a primitiva de x cos ⁡ x é x   s e n   x + cos ⁡ x , temos que:

V = x 2 3 0 0,739 + x   s e n   x + cos ⁡ x 0 0,739

V = 0,102

Resposta

V = 0,102

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Delimitado pelo hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .