Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 25
Determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície e acima do triângulo com vértices , e .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Podemos expressar o volume de um sólido limitado por uma superfície e uma região através da seguinte integral dupla:
Onde é a região limitada na qual devemos integrar a função.
Temos que a equação da superfície é dada por:
Podemos usar a fórmula da equação de dois pontos para determinar as retas que ligam os vértices e a partir delas encontrar os limites de integração:
A equação que passa pelos pontos e é dada por:
A equação que passa pelos pontos e é dada por:
Passo 2
Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Como , temos:
Vamos resolver a integral de dentro:
Agora, aplicando os limites de integração, temos:
Logo, substituindo, temos:
Passo 3
Agora é só resolver:
Agora, aplicando os limites de integração, temos:
Resolvendo, temos:
Portanto, o volume será:
Resposta
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