Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y

Passo 1

Pra começar galera, vamos olhar região D de integração. Pra isso, basta pegar tudo no plano x y . Para a equação do paraboloide:

z = 3 x 2 + y 2

0 = 3 x 2 + y 2

→ x = y = 0

Portanto a interseção do plano x y com o paraboloide é a origem. Agora pras outras curvas do enunciado, na interseção com o plano x y , elas serão:

y = x → R e t a

x = y 2 - y → P a r á b o l a

A região D então é:

Podemos escrevê-la como uma região do tipo II, basta que achemos as intersecções, neste caso, vamos substituir y = x em x = y 2 - y

y = y 2 - y

y 2 - 2 y = 0

y y - 2 = 0

y 1 = 0

y 2 - 2 = 0

y 2 = 2

Então os pontos de intersecção são ( 0,0 ) e ( 2,2 ) e podemos escrever D como

D = x , y 0 ≤ y ≤ 2 ,   ( y 2 - y ) ≤ x ≤ y }

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = 3 x 2 + y 2 na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 0 2 ∫ y 2 - y y ( 3 x 2 + y 2 ) d x d y

Agora vamos integrar, primeiro em x

∫ 0 2 ∫ y 2 - y y ( 3 x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 x 3 + x y 2 x = y 2 - y x = y d y

= ∫ 0 2 y 3 + y 3 - y 2 - y 3 + y 2 - y y 2 d y

= ∫ 0 2 2 y 3 - ( y 6 - 3 y 5 + 3 y 4 - y 3 ) + y 4 - y 3 d y

= ∫ 0 2 2 y 3 - y 6 - 3 y 5 + 4 y 4 - 2 y 3 d y = ∫ 0 2 4 y 3 - y 6 + 3 y 5 - 4 y 4 d y

Agora em relação a y

= y 4 - y 7 7 + y 6 2 - 4 y 5 5 0 2 = 2 4 - 2 7 7 + 2 6 2 - 4 5 2 5

= 2 4 - 2 7 7 + 2 5 - 2 7 5 = 35 ⋅ 16 - 5 ⋅ 128 + 35 ⋅ 32 - 7 ⋅ 128 35

= 560 - 640 + 1120 - 896 35

= 144 35

Resposta

= 144 35

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10. Calcular ∬ R d yd x x + y 2, onde R é o retângulo 3 ≤ x ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ 2 .
8. Calcular ∬ R y l nx xd y d x , onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 e - 1 ≤ y ≤ 1 .
12. Calcular ∬ R x 2 y 2d xd y onde R é a região delimitada por y = x; y = 1 xex = 2 .
11. Calcular ∬ R ( 2 x + y )d xd y onde R é a região delimitada por x = y 2 - 1; x = 5 ; y = - 1ey = 2 .
5. Calcular ∬ R ( 8 - x - y ) d x d y , onde R é a região delimitada por y = x 2 e y = 4 .