Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Delimitado pelo paraboloide z = x 2 + 3 y 2 e pelos planos x = 0 , y = 1 , y = x , z = 0

Passo 1

Podemos representar D como sendo uma região dos dois tipos, temos que para o plano z = 0 basta que analizemos a região delimitada pelos outros planos e calcular a integral normalmente.

Olhando para as equações x = 0 , y = 1 e y = x no plano

Pela análise do gráfico, podemos escrever D da seguinte forma

D = x , y   0 ≤ x ≤ 1 ,     x ≤ y ≤ 1

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x y na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 0 1 ∫ x 1 x 2 + 3 y 2   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

= ∫ 0 1 y x 2 + y 3 x 1   d x = ∫ 0 1 x 2 + 1 - x 3 + x 3   d x

= ∫ 0 1 x 2 + 1 - 2 x 3 d x

Agora em relação a x

= x 3 3 + x - x 4 2 0 1 = 1 3 + 1 - 1 2

= 2 + 6 - 3 6 = 5 6

Resposta

= 5 6

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