Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitada pelos cilindros z = x 2 , y = x 2 e pelos planos z = 0 , y = 4

Passo 1

Neste caso, a função que vamos integrar, vai sair da equação

z = x 2

Olhando para as equações y = x 2 e y = 4 sobre o plano z = 0

Substituindo y = 4 na equação y = x 2

4 = x 2

x = ± 2

Podemos escrever D como uma região do tipo I da seguinte forma

D = x , y - 2 ≤ x ≤ 2 ,     x 2 ≤ y ≤ 4

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x 2 na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ - 2 2 ∫ x 2 4 x 2   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

= ∫ - 2 2 x 2 y x 2 4 d x = ∫ - 2 2 4 x 2 - x 4 d x

Agora em relação a x

= 4 x 3 3 - x 5 5 - 2 2 = 4 ( 2 ) 3 3 - 2 5 5 - 4 ( - 2 ) 3 3 - ( - 2 ) 5 5

= 2 2 5 3 - 2 5 5 = 2 5 - 3 2 5 15 = 2 7 15

= 128 15

Resposta

= 128 15

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