Enunciado

Determine o volume do sólido dado.

Limitada pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0

Passo 1

Neste caso, a função que vamos integrar, vai sair da equação

z = x

O plano z = 0 é onde a nossa região de integração vai estar, então para achar a região D , vamos usar as outras duas equações.

Usando x + y = 2 , vamos isolar uma das variáveis

y = 2 - x

Para achar o ponto de intersecção com y = x , vamos substituir na equação

x + x = 2

2 x = 2

x = 1

Substituindo para achar o y

y = 2 - x

y = 2 - 1

y = 1

Olhando no plano, temos

Ainda temos uma região aberta, para isso, vamos ter que achar a intersecção de z = x com o plano z = 0 , que basta substituir e temos x = 0 .

Temos então, como região, o triangulo de vértices. ( 0,0 ) , ( 0,2 ) e ( 1,1 ) e podemos escrever D como uma região do tipo I da seguinte forma

D = x , y   0 ≤ x ≤ 1 ,     x ≤ y ≤ 2 - x

Passo 2

Temos então que o volume do solido W que é restrito abaixo de z = x na região D é dado por

V W = ∬ D z   d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 - x x   d y d x

Agora vamos integrar, primeiro em y

= ∫ 0 1 x y x 2 - x d x = ∫ 0 1 x 2 - x - x 2 d x

= ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 2 d x = ∫ 0 1 2 x - 2 x 2 d x

Agora em relação a x

= x 2 - 2 x 3 3 0 1 = 1 - 2 3

= 1 3

Resposta

= 1 3

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