Enunciado

Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2

Passo 1

Temos uma integral tripla do tipo I. Como o sólido está limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone, temos:

∭ E d V

∬ D ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 d z d A

Percebam que o limite superior foi obtido ao isolarmos o z na equação da esfera.

O questionamento agora é: quem é a região D ?

Ela é obtida a partir da projeção do nosso sólido no plano x y . Para obtermos esta projeção, basta igualarmos o valor de z das duas equações (cone e esfera). Portanto, temos:

z c o n e 2 = z e s f e r a 2

x 2 + y 2 = 2 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 1

Portanto, a projeção é uma região circular de raio 1 e centro na origem. Passando a nossa função para coordenadas cilíndricas, temos que resolver a seguinte integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 r d z d r d θ

Passo 2

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r z r 2 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 - r 2 - r 2 d r d θ

∫ 0 2 π - 1 3 ⋅ 2 - r 2 3 / 2 - r 3 3 0 1 d θ

∫ 0 2 π - 1 3 - 1 3 - - 2 2 3 d θ

∫ 0 2 π 2 2 - 2 3 d θ

4 π 2 - 1 3

Resposta

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 2 - r 2 r d z d r d θ = 4 π 2 - 1 3

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Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 ,π / 2 ,π / 2 ) ( 4 , -π / 4 ,π / 3 )
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitáriax 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;
Mude de coordenadas retangulares para esféricas. ( 0 , - 2,0 ) ( - 1,1 , - 2 )