Enunciado

Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1 , x = ± 1 , y = 0   e   y = 4 .

Passo 1

O volume do sólido vai ser a diferença entre o volume do sólido abaixo do paraboloide na região R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 4 } e o volume do plano z = 1 nessa mesma região...

Assim:

V = ∫ 0 4 ∫ - 1 1 2 + x 2 + y - 2 2   d x d y - ∫ 0 4 ∫ - 1 1 1   d x d y

Beleza, vamos integrar isso aí então:

Passo 2

Vamos começar integrando em x :

∫ 0 4 2 x + x 3 3 + x y - 2 2 - 1 1 d y - ∫ 0 4 1 - 1 1 d y

∫ 0 4 2 + 1 3 + y - 2 2 - ( - 2 - 1 3 - y - 2 2   d y - ∫ 0 4 x - 1 1 d y

∫ 0 4 14 3 + 2 y - 2 2 d y - ∫ 0 4 2   d y

Show! Agora é só integrar em y e pronto!

Passo 3

Vamos desenvolver esse produto primeiro...

∫ 0 4 14 3 + 2 y 2 - 4 y + 4 d y   - ∫ 0 4 2   d y

∫ 0 4 14 3 + 2 y 2 - 8 y + 8   d y - ∫ 0 4 2   d y

Integrando agora...

14 3 y + 2 y 3 3 - 4 y 2 + 8 y 0 4 - 2 y 0 4

= 56 3 + 128 3 - 64 + 32 - 8

= 64 3

Esse é o volume procurado!!

Resposta

64 3

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Determine a área da superfície.A parte da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Determine a área da superfície.A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .
Determine a área da superfície.A parte do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 que está entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 2 x + 5 y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9 .
Determine a área da superfície.A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.