Enunciado

27. A região limitada pela curva y = c o t g   x , pela reta x = π 6 , e pelo eixo x é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.

Passo 2

A região é limitada por y = c o t g   x , pela reta x = π 6 e o eixo x , com x indo de π 6 até π 2 (porque c o t g x encontra o eixo x em π 2 ) . Um elemento de volume será um disco, centrado no eixo x , como a questão pede. O raio (a distância até o eixo x )   desse disco será o próprio valor de y , c o t g   w i , onde w i é uma porção infinitesimal no eixo x . Show? =]

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( f w i ) 2   ∆ i x = π ∫ a b ( f x ) 2 d x

(essa função f é o raio, a área é π ( f x ) 2 )

No nosso caso,

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( c o t g   w i ) 2 ∆ i x = π ∫ π 6 π 2 ( c o t g   x ) 2 d x

(vamos usar ( c o t g   x ) 2 = ( c o s s e c 2 x - 1 ) )

V = π ∫ π 6 π 2 c o s s e c 2 x - 1 d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π ∫ π 6 π 2 c o s s e c 2 x - 1 d x = π c o t g   x - x   π 6 π 2

= π ( c o t g   π 2 ) - π 2 - ( ( c o t g   π 6 ) - π 6 )   = π 3 - π 2 3

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = π 3 - π 2 3   u n i d a d e s   c ú b i c a s

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11. y = 2 x - 1 ,y = 0 ,x = 0 ,x = 4a or e d o rd oe i x od o sx .
13. y = 2 x 2 , x = 1 ,x = 2ey = 2 ,a or e d o rd oe i x oy = 2 .
5. y = x 3 , x = - 1,x = 1ey = 0
10. y = 3 + sen ⁡ y,x = 0,y = - 5 π 2ey = 5 π 2
8. x = y 2 + 1,x = 1 2,y = - 2ey = 2