Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = sec ⁡ x

y = 2

- π 4 ≤ x ≤ π 4

Passo 1

As curvas que ele deu são:

y = sec ⁡ x

y = 2

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, ao redor do eixo x .

Essa região é aquela entre duas curvas, então temos que usar o método dos anéis. Qua basicamente é separar em dois volumes, o da curva laranja e o da curva verde.

Vamos ter então que o volume vai ser:

V = V 1 - V 2

Onde

V 1 → c u r v a   l a r a n j a

V 2 → c u r v a   v e r d e

Isso porque a curva laranja está acima da verde.

Ele já deu o intervalo que vamos usar, vamos so verificar se isso é efetivamente no neocntro das curvas para ver se realmente fica entre uma curva e outra.

x = - π 4 → sec ⁡ - π 4 = 1 cos ⁡ - π 4 = 1 2 2 = 2 2

Racionalizando:

2 2 = 2 2 2 2 = 2 2 2 = 2

Beleza, é o valor da outra curva mesmo.

Agora o outro lado:

x = π 4 → sec ⁡ π 4 = 1 cos ⁡ π 4 = 1 2 2 = 2 2

Racionalizando:

2 2 = 2 2 2 2 = 2 2 2 = 2

Beleza, é o valor da outra curva mesmo.

Entao a região vai de x = - π 4 até x = π 4 . Onde os raios dos discos, que formam o anel, vão ser:

r 1 x = 2

r 2 x = sec ⁡ x

Cada volume vai ser:

V 1 = ∫ - π 4 π 4 π 2 2 d x

V 1 = ∫ - π 4 π 4 2 π d x

E

V 2 = ∫ - π 4 π 4 π sec ⁡ x 2 d x

V 2 = ∫ - π 4 π 4 π sec 2 ⁡ x d x

Com:

V = V 1 - V 2

Passo 2

Vamos achar V 1 :

V 1 = ∫ - π 4 π 4 2 π d x

V 1 = 2 π ∫ - π 4 π 4 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ d x = x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V 1 = 2 π ∫ - π 4 π 4 d x = 2 π x - π 4 π 4 =

2 π π 4 - 2 π - π 4 =

π 2 2 - - π 2 2 =

π 2 2 + π 2 2 =

V 1 = π 2

Passo 4

Vamos achar V 2 :

V 2 = ∫ - π 4 π 4 π sec 2 ⁡ x d x

V 2 = π ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

Passo 5

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x = π tg ⁡ x - π 4 π 4 =

π tg ⁡ π 4 - π tg ⁡ - π 4 =

π 1 - π - 1 =

π + π =

V 2 = 2 π

Passo 6

Agora vamos para o V

V = V 1 - V 2

V = π 2 - 2 π

Resposta

π 2 - 2 π

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