Enunciado

Difusão de informação. Os sociólogos reconhecem um fenômeno chamado difusão social, que é a propagação de uma informação, inovação tecnológica ou modismo cultural entre a população. Os membros da população podem ser divididos em duas classes: aqueles que têm a informação e aqueles que não a têm. Em uma população fixa com tamanho conhecido, é razoável supor que a taxa de difusão seja proporcional ao número dos que têm a informação vezes o número dos que ainda não a receberam. Se X denota a quantidade de indivíduos que têm a informação em uma população de N pessoas, então o modelo matemático para a difusão social é dado por

d X d t = k X ⋅ N - x ,

onde t representa o tempo em dias e k é uma constante positiva.

  1. Discuta se o modelo é razoável.
  2. Construa uma reta de fase e identifique os sinais de X ' e X " .
  3. Esboce curvas integrais representativas.
  4. Preveja o valor de X com o qual a informação será disseminada mais rapidamente. Quantas pessoas, de fato, receberão a informação?

Passo 1

O modelo parece ser razoável porque a taxa de disseminação de uma informação, uma inovação ou uma moda cultural é proporcional ao produto do número de indivíduos que possuem a informação x e daqueles que não a possuem ( N - x ) , quando x é pequeno existem apenas algumas pessoas com informação e isso vai implicar em uma disseminação lenta enquanto que se tivermos x e N - x grandes vamos ter uma propagação da informação mais rápida devido a quantidade de pessoas que sabem sobre.

Passo 2

Partindo do modelo dado vamos encontrar os pontos de equilíbrio para que possamos construir a reta de fase. Lembrando que os pontos de equilíbrio são os pontos onde d X d t = 0 , assim

0 = k X ⋅ N - x → X = 0   o u   X = N

Sendo X = 0 um ponto de equilíbrio instável e o ponto X = N ponto de equilíbrio estável.

Calculando a segunda derivada teremos

d 2 x d t 2 = k 2 ⋅ X ⋅ N - X ⋅ ( N - 2 X )

Os pontos de inflexão são x = 0 ,   x = N 2   e   x = N . Assim,

Passo 3

Tomando por base os pontos marcados na reta de fase traçamos assíntotas horinzontais de tal forma a obter curvas integrais de acordo com o comportamento da função dentro do intervalo. Dessa forma, teremos

Passo 4

A informação será disseminada mais rápida quando x = N 2 , ou seja, quando metade da população souber da informação, assim, a informação terá possibilidade de se disseminar mais rapidamente e eventualmente todas as pessoas receberão a notícia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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