∭ W z   d x d y d z ,   o n d e   W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , z ≥ 0 , x 2 + y 2 ≥ 1 4 .

Passo 1

Opa, falae, vamo resolver essa questão!

Nós queremos integrar na região W, mas que região é essa?! Vamos primeiro fazer um esboço dessa região.

Temos em azul um cilindro, que é dado por x 2 + y 2 = 1 4 , e em vermelho a esfera dada por x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Cara, a nossa região W está compreendida entre esse cilindro e entre a esfera, mas somente a parte positiva, pois z ≥ 0 .

Passo 2

Okay, agora que sabemos a região em que estamos trabalhando, vamos aplicar uma mudança de variáveis para ficar mais tranquilo. Vamos utilizar as coordenadas cilíndricas, daí:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Lembrando que o jacobiano das coordenadas cilíndricas é dado por   J = r .

Agora temos que ter nossos intervalos de integração.

Note que:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 → z 2 = 1 - ( x 2 + y 2 )

z 2 = 1 - r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

z 2 = 1 - r 2 → z = ( 1 - r 2 )

Daí, 0 ≤ z ≤ 1 - r 2 .

Cara, pra r vamos ter o seguinte. A nossa região W está indo do nosso cilindro para a nossa esfera, ou seja, do raio do cilindro para o raio da esfera, assim 1 2 ≤ r ≤ 1 .

Agora pra θ , temos que nossa região ocupa todos os quadrantes do plano, ela da uma volta em torno do eixo y, dai 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 3

Vamos então calcular a nossa integral

∭ W z   d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 ∫ 0 1 - r 2 z r   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 1 r - r 3 2 d r d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 9 64 d θ = 9 π 64

Resposta

O resultado da integral é 9 π 64 .

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