Enunciado

W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 <= a^2 e z^2 <= x^2 + y^2} .

Passo 1

Nos encontramos aqui novamente, vão bora!!

Queremos calcular o volume desse sólido, mas que sólido é esse?!

Ao utilizarmos as equações, podemos ver que temos algo como a junção de uma esfera e um cone, algo parecido como:

A equação x^2 + y^2 + z^2 <= a^2 é referente a esfera em vermelho e a equação z^2 <= x^2 + y^2 é referente ao cone em verde.

Passo 2

Beleza, para calcular o volume do sólido vamos resolver uma integral tripla do tipo:

∭ d x d y d z

Temos, porém, um sólido esférico, daí, vamos realizar uma mudança de variáveis para coordenadas esféricas, lembrando que:

{[[x = rho sen varphi cos theta],[y = rho sen varphi sen theta],[z = rho cos varphi]])

E seu jacobiano sendo dado por | J | = rho^2 sen varphi .

Assim,

∭ rho^2 sen varphi d varphi d rho d theta

Passo 3

Vamos agora analisar os intervalos de integração. Temos que rho estará compreendido entre 0 e a , pois ele está se referindo a uma distância de um ponto P da superfície da esfera até a sua origem.

0 <= rho <= a

Note agora a que theta e varphi se referem na figura abaixo:

Assim, para o sólido que temos, a variação em theta será de 0 a 2 pi , pois haverá uma rotação completa em torno do eixo y.

0 <= theta <= 2 pi

Já para a variação de varphi , vamos precisar saber da interseção das duas formas, assim:

x^2 + y^2 + z^2 = a^2 z^2 = x^2 + y^2

z = sqrt(a^2 - x^2 - y^2 ) z = sqrt(x^2 + y^2)

Daí,

sqrt(a^2 - x^2 - y^2 ) = sqrt(x^2 + y^2)

x^2 + y^2 = (a^2)/(2)

Ou seja,

Temos que z = sqrt(x^2 + y^2) , d a í :

z = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((a^2)/(2)) = (a)/(sqrt(2))

Nas mudanças de variáveis, teremos que z = rho cos varphi , assim:

(a)/(sqrt(2)) = acos varphi -> cos varphi = (1)/(sqrt(2)) -> varphi = (pi)/(4)

Ou seja, como varphi é a variação do ângulo a partir do eixo y, teremos:

(pi)/(4) <= varphi <= (pi)/(2)

Passo 4

Resolvendo a integral, teremos que o volume do sólido será dado por:

∭_0^(2 pi) rho^2 sen varphi d theta d rho d varphi = 2 pi ∬_0^a rho^2 sen varphi d rho d varphi = (2 pi a^3)/(3) int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) sen varphi d varphi = (pi a^3 sqrt(2))/(3)

Note que utilizamos só a parte superior da esfera, pois estamos tratando com o intervalo de varphi referente a ela, logo, ao multiplicar o resultado da integral por 2, teríamos a outra metade da esfera, assim:

V o l u m e (W) = 2 * (pi a^3 sqrt(2))/(3) = (2 pi a^3 sqrt(2))/(3)

Resposta

O volume do sólido é dado por: V o l u m e (W) = (2 pi a^3 sqrt(2))/(3) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 2 a 2 - x 2a0 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 ≤ z ≤ 1 - y e y ≥ 0
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) 4 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≤ 4 e 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 1
W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,x 2 + y 2 ≤ 2 y .