2) Calcule o volume dos sólidos abaixo:

f)

W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2   e   z 2 ≤ x 2 + y 2 .

Passo 1

Nos encontramos aqui novamente, vão bora!!

Queremos calcular o volume desse sólido delimitado pelas regiões fornecidas pelo enunciado, mas que sólido é esse?!

Ao utilizarmos as equações, podemos ver que temos algo como a junção de uma esfera e um cone, algo parecido como:

A equação x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 é referente a esfera ( r = a ) em vermelho e a equação z 2 ≤ x 2 + y 2 é referente ao cone em verde. O sólido que nos interessa está abaixo da superfície do cone e dentro da esfera. Ou seja, seria a parte sólida entre as duas curvas.

Passo 2

Beleza, para calcular o volume do sólido vamos resolver uma integral tripla do tipo:

∭ d x   d y   d z

Temos, porém, um sólido esférico, daí, vamos realizar uma mudança de variáveis para coordenadas esféricas, lembrando que:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

E seu jacobiano sendo dado por |   J   | = ρ 2 sen ⁡ ϕ .

Assim,

∭   ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ϕ   d ρ   d θ

Passo 3

Vamos agora analisar os intervalos de integração. Temos que ρ estará compreendido entre 0   e   a , pois ele está se referindo a uma distância de um ponto P da superfície da esfera até a sua origem.

0 ≤ ρ ≤ a

Note agora a que θ e ϕ se referem na figura abaixo:

Assim, para o sólido que temos, a variação em θ será de 0   a   2 π , pois haverá uma rotação completa em torno do eixo y.

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já para a variação de ϕ , vamos precisar saber da interseção das duas formas. Vamos manipular um pouco as expressões. Na esfera, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Para o cone, temos:

z 2 = x 2 + y 2

Substituindo essa expressão na esfera, temos:

2 z 2 = a 2

Ou seja:

z = a 2 2

Nas mudanças de variáveis, teremos que z = ρ cos ⁡ ϕ , assim:

a c o s ϕ = a 2 2

c o s ϕ = 2 2

Com isso:

ϕ = π 4

Ou seja, como ϕ é a variação do ângulo a partir do eixo y, teremos:

π 4 ≤ ϕ ≤ π 2

Passo 4

Resolvendo a integral, teremos que o volume do sólido será dado por:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ π 4 π 2 ρ 2 s e n ϕ   d ϕ   d ρ   d θ

Resolvendo a integral de dentro pra fora, vemos que a primeira integral (em d ϕ ) não depende das outras variáveis. Com isso, podemos fazer o seguinte:

V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a ρ 2   d ρ ∫ π 4 π 2 s e n ϕ   d ϕ

Simplificando as integrais, temos:

V = 2 3 π a 3 ⋅ ∫ π 4 π 2 s e n ϕ   d ϕ

Resolvendo essa última integral, teremos:

V = 2 3 π a 3 ⋅ - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ π 4

Resolvendo a expressão:

V = 2 3 π a 3 ⋅ 0 - - 2 2

V = 2 3 π a 3

Note que utilizamos só a parte superior da esfera, pois estamos tratando com o intervalo de ϕ referente a ela, logo, ao multiplicar o resultado da integral por 2, teríamos a outra metade da esfera, assim:

V o l u m e W = 2 ⋅ 2 3 π a 3

V o l u m e W = 2 2   3 π a 3

Resposta

O volume do sólido é dado por: V o l u m e W = 2 2   3 π a 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados