Enunciado

Em que direção a derivada direcional de f x , y = 2 x y - x 2 no ponto 1,1 é nula?

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Então vamos começar encontrando o gradiente da função!

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ 2 x y - x 2 ∂ x i → + ∂ 2 x y - x 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 2 y - 2 x   i → + 2 x   j →

Reescrevendo, temos:

∇ f x , y = 2 y - 2 x , 2 x

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v →

Substituindo com o que achamos no Passo anterior:

∂ f ∂ v x , y = 2 y - 2 x , 2 x ⋅ v →

Para o ponto 1,1 :

∂ f ∂ v 1,1 = 2 × 1 - 2 × 1 , 2 × 1 ⋅ v → v →

Considerando o vetor v → como a , b e usando a condição que a derivada nesse ponto é nula:

0 = 0,2 ⋅ a , b a 2 + b 2

Isto é,

0 = 0,2 ⋅ a , b

Fazendo a produto escalar:

0 + 2 b = 0 → b = 0

Portanto, o nosso vetor fica o seguinte:

v → = a , 0

Então a derivada direcional de f é nula no ponto 1,1 na direção do eixo x .

Resposta

Na direção do eixo x .

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