Enunciado

Discuta o comportamento assintótico de f x = ( x 4 + 1 ) / x da mesma forma que no Exercício 70 . Use então seus resultados para auxiliá-lo no esboço do gráfico f .

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui uma assíntotas oblíqua. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ f x - m x + b = 0

Onde m x + b é a equação da assíntota oblíqua. Iremos utilizar os conceitos desse capítulo para tirar conclusões a respeito do gráfico de f ( x ) .

Passo 2

Derivando y em relação a x , temos

y ' = 3 x 2 - 1 x 2

Como y ' ≥ 0 para x > 1 3 4 , então nossa função está crescendo em - ∞ , -   1 3 4 e 1 3 4 ,   ∞ e decrescendo em - 1 3 4 ,   0 e 0 ,   1 3 4 .

Derivando f ' ( x ) em relação a x , temos

y ' ' x = 6 x + 2 x 3

Como y ' ' x > 0 para x > 0 , então nossa função possui concavidade para cima em 0 ,   ∞ e concavidade para baixo em ( - ∞ ,   0 ) . A função possui valores de mínimo local em f 1 3 4 = 4   . 3 - 5 4 e valores de máximo local em f - 1 3 4 = - 4   . 3 - 5 4 . A função não possui pontos de inflexão .

Passo 3

Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → ± ∞ ⁡ f x - x 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x 3 + 1 x - x 3 = 0

Dessa forma, x 3 é uma assíntota oblíqua de f x .

Resposta

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