Se f = 2 \* x^3 \* y \* z e v = x^3 i + xz j + sen(x) k

Calcular:

a) ∇ f + rot ⁡ v →

Passo 1

Queremos encontrar ∇ f + rot ⁡ v → . Para isso precisamos primeiro calcular o gradiente de f .

O gradiente de f é o seguinte:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ 2 x 3 y z   ∂ x i → + ∂ 2 x 3 y z   ∂ y j → + ∂ 2 x 3 y z   ∂ z k →

∇ f = 6 x 2 y z i → + 2 x 3 z j → + 2 x 3 y k →

Passo 2

Agora temos que calcular o rot ⁡ v → . Para isso, basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ v →   = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v 1 v 2 v 3

rot ⁡ v → = ∂ v 3 ∂ y - ∂ v 2 ∂ z i → + ∂ v 1 ∂ z - ∂ v 3 ∂ x j → + ∂ v 2 ∂ x - ∂ v 1 ∂ y k →

Aplicando a formula cima em v → temos:

v → = x 3 i → + x z j → + sen ⁡ x k →

rot ⁡ v → = ∂ sen ⁡ x ∂ y - ∂ x z ∂ z i → + ∂ x 3 ∂ z - ∂ sen ⁡ x ∂ x j → + ∂ x z ∂ x - ∂ x 3 ∂ y k →

rot ⁡ v → = 0 - x i → + 0 - cos ⁡ x j → + z - 0 k →

rot ⁡ v → = - x i → + - cos ⁡ x j → + z k →

Passo 3

Com ∇ f e rot ⁡ v → calculado, podemos então encontrar ∇ f + rot ⁡ v → usando soma de vetores.

∇ f + rot ⁡ v → = 6 x 2 y z i → + 2 x 3 z j → + 2 x 3 y k → + - x i → + - cos ⁡ x j → + z k →

∇ f + rot ⁡ v → = 6 x 2 y z - x i → + 2 x 3 z - cos ⁡ x j → + 2 x 3 y + z k →

Resposta

∇ f + rot ⁡ v → = 6 x 2 y z - x i → + 2 x 3 z - cos ⁡ x j → + 2 x 3 y + z k →

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