Encontre a derivada da função dada:

h(x) = cosec^(-1)(2\*e^(3x))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cosec - 1 ⁡  

cosec - 1 ⁡ x ' = - 1 x x 2 - 1

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

h x = f g w x

Com

f x = cosec - 1 ⁡ x

g x = 2 e x

w x = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h ' x = h ' g w x g w x '

h ' x = h ' g w x g ' w x w ' x

Temos

f ' x = - 1 x x 2 - 1

Que é a derivada de tgh - 1 ⁡  

Então

h ' x = - 1 g w x g w x 2 - 1 g ' w x w ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de g x

g x = 2 e x → g ' x = 2 e x

Vamos ter

h ' x = - 1 2 e w x 2 e w x 2 - 1 2 e w x w ' x

Passo 3

Vamos agora para w x

w x = 3 x → w ' x = 3

Vamos ficar com:

h ' x = - 1 2 e 3 x 2 e 3 x 2 - 1 2 e 3 x 3

h ' x = - 6 e 3 x 2 e 3 x 4 e 6 x - 1

Como 2 e 3 x é sempre positivo, vamos ter:

h ' x = - 6 e 3 x 2 e 3 x 4 e 6 x - 1

Resposta

h ' x = - 6 e 3 x 2 e 3 x 4 e 6 x - 1

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