Enunciado

Uma droga é injetada na corrente sanguínea de um paciente a uma taxa constante de r gramas por segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma taxa proporcional à quantidade x ( t ) de droga presente no instante t . Determine a equação diferencial que governa a quantidade x ( t ) .

Passo 1

Bom, vamos lá processar essas informações

A cada segundo, são acrescentados r gramas da droga na corrente sanguínea do paciente. Então, chamando d i d t a taxa de droga que entra na corrente sanguínea, ela pode ser dada por

d i d t = r

Mas ao mesmo tempo que a droga entra na corrente sanguínea, ela também é removida, o que altera a quantidade x ( t ) . Ta bom, mas qual a taxa que ela é removida?

Ó, o enunciado fala que é uma taxa proporcional a x ( t ) , então chamando de d o d t a taxa de droga que é removida, temos

d o d t ∝ x ( t )

Ou seja:

d o d t = α . x ( t )

Onde α é uma constante.

Passo 2

Beleza, a taxa de droga que entra no sangue é d i d t = r

E a taxa de droga que sai do sangue é

d o d t = α . x ( t )

Agora, qual a taxa de droga presente no sangue?

Ela vai ser dada por

d x d t = d i d t - d o d t

Concorda? Porque a taxa de variação da droga presente no instante t , vai ser a taxa de droga que entra menos a taxa de droga que sai, portanto:

d x d t = r - α . x ( t )

Resposta

d x d t = r - α . x ( t )

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