Enunciado

4) a) Use a a parte (b) do Problema 3 para encontrar a equação diferencial para r se a resistência ao satélite em queda for proporcional à sua velocidade.

b) Próximo à superfície da terra, use a aproximação R = r para mostrar que a equação diferencial da parte (a) se reduz à equação deduzida no problema 1.

Passo 1

Olá! Tudo joia?

Olha só, a soma das forças agindo no satélite é:

m a - k v

Onde k é uma constante de proporcionalidade, e o sinal de menos indica a resistência do ar na direção oposta do movimento.

Daí, pela segunda lei de Newton, temos:

m a - k v = m d 2 r d t 2

Pelo problema 3, temos que a = g R 2 r 2 . E como v = d r d t , temos:

m g R 2 r 2 - k v = m   d 2 r d t 2

Ou, escrevendo de outra forma:

d 2 r d t 2 + k m d r d t = g R 2 r 2

Essa é a equação diferencial que procuramos! 😉

Passo 2

b) Fazendo R = r e d r d t = v , a equação do item (a) se torna:

d v d t + k m v = g

Que é a mesma equação do Problema 1😊

Resposta

  1. d 2 r d t 2 + k m d r d t = g R 2 r 2
  2. d v d t + k m v = g
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