15. Seja g dada por g(t) = f(x, y) \* sen(3t) , onde x = 2t e y = 3t . Verifique que

g'(t) = 3f(x, y) cos(3t) + sen(3t) [2 (∂f/∂x)(x, y) + 3 (∂f/∂y)(x, y)]

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g t = f x , y s e n 3 t

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto para poder derivar. Vem comigo!

g ' ( t ) = f x , y ' s e n 3 t + f x , y cos ⁡ 3 t × 3

Isto é,

g ' ( t ) = f x , y ' s e n 3 t + 3 f x , y cos ⁡ 3 t

Agora vamos partir para achar f x , y ' .

Passo 2

Do enunciado a gente sabe o seguinte:

x = 2 t e y = 3 t

Substituindo na expressão de f :

f 2 t , 3 t

Derivando, temos:

f 2 t , 3 t ' = 2 ∂ f ∂ x 2 t , 3 t + 3 ∂ f ∂ y 2 t , 3 t

Passo 3

Agora vamos juntar com que achamos no Passo 1.

g ' ( t ) = f 2 t , 3 t ' s e n 3 t + 3 f x , y cos ⁡ 3 t

Assim,

g ' ( t ) = 2 ∂ f ∂ x 2 t , 3 t + 3 ∂ f ∂ y 2 t , 3 t ' s e n 3 t + 3 f x , y cos ⁡ 3 t

Voltando para as variáveis x e y e colocando na ordem do enunciado:

g ' t = 3 f x , y cos ⁡ 3 t + s e n 3 t 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y x , y

Então ta verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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