Enunciado

Durante os primeiros 10 dias de dezembro, a célula de uma planta cresceu de tal forma que t dias após o 1º de dezembro o volume da célula estava crescendo a uma taxa de ( 12 - t ) - 2   μ m ³ por dia. Se em 3 de dezembro o volume da célula era de 3   μ m ³ , qual seria o volume esperado no dia 8 de dezembro?

Passo 1

Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é o volume da célula com o tempo. Como dado no enunciado, o volume da célula cresce de acordo com a fórmula d V d t = ( 12 - t ) - 2 . Nos foi pedido o valor de V(t) no dia 8 de dezembro. Vamos montar nosso problema abaixo.

V t = ∫ d V Como podemos obter dV para substituirmos na integral e encontrar o volume da célula? Através da relação da corrente que nos foi dada!

d V d t = ( 12 - t ) - 2

Agora temos todas as informações para resolver o problema!

V t = ∫ ( 12 - t ) - 2 d t

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

V t = ∫ ( 12 - t ) - 2 d t

Vamos fazer aqui uma substituição de variáveis. Seja u = 12 - t . Derivando dos dois lados temos:

d u = - d t   ↔ - d u = d t

Substituindo na integral:

V u = ∫ - ( u ) - 2 d u

V u = - u - 1 - 1 + K V t = ( 12 - t ) - 1 + K

Passo 3

Uma vez obtida a expressão para o volume da célula, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Aqui temos que prestar atenção no seguinte: no dia primeiro de dezembro foi observada a taxa de crescimento, ou seja, é o nosso tempo inicial t=0. Portanto, para o dia 3 de dezembro, t deverá ser igual a 2! Assim,

V 2 = 3 V 2 = 12 - 2 - 1 + K = 3 1 0 - 1 + K = 3 0,1 + K = 3 K = 2,9  

Portanto,

V t = - 12 - t - 1 + 2,9

Passo 4

O enunciado pede o volume da célula no dia 8 de dezembro, ou seja, quando t = 7   s . Logo,

V 7 = 12 - 7 - 1 + 2,9 V 7 = 5 - 1 + 2,9 V 7 = 3,1   μ m ³

Resposta

O volume da célula no oitavo dia dezembro é:

V 7 = 3,1   μ m ³

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Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada. ∫ 0 1 sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x
12. ∫ sec 2 ⁡ 2 θd θ
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Encontre a integral indefinida geral. ∫ln ⁡ x2 x d x
Calcule a integral indefinida. ∫ e u 1 - e u 2 d u