Enunciado

5 - Elimine o módulo.

d) |x| + |x - 1| + |x - 2|

Passo 1

Fala aí! Tudo certo? 😬

Nosso objetivo nesse problema é reescrever a função f (x) = |x| + |x - 1| + |x - 2| sem os módulos.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Temos pela definição que para não usar o módulo, é necessário que dividirmos a função em partes:

|x| = {[[x s e x >= 0],[- x s e x < 0]])

Basicamente isso fala que para todo x , |x| >= 0 , ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo, assim podemos calcular.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos analisar os sinais das expressões dentro dos módulos:

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 1 temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 1 e assume valores positivos quando x > 1 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Vamos analisar as três imagens que achamos no passo anterior:

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Vamos analisar os quatro casos, com x <= 0 , 0 < x <= 1 , 1 < x <= 2 e x >= 2 .

Com x <= 0 temos que x <= 0 , x - 1 < 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x| + |x - 1| + |x - 2| = - x + (- (x - 1)) + (- (x - 2)) = - x + (- x + 1) + (- x + 2) = - x - x + 1 - x + 2 = - 3 x + 3

Com 0 < x <= 1 temos que x > 0 , x - 1 <= 0 e x - 2 < 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x| + |x - 1| + |x - 2| = x + (- (x - 1)) + (- (x - 2)) = x + (- x + 1) + (- x + 2) = x - x + 1 - x + 2 = - x + 3

Com 1 < x <= 2 temos que x > 0 , x - 1 > 0 e x - 2 <= 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x| + |x - 1| + |x - 2| = x + (x - 1) + (- (x - 2)) = x + x - 1 + (- x + 2) = 2 x - 1 - x + 2 = x + 1

Passo 4

Por último, com x >= 2 temos que x > 0 , x - 1 > 0 e x - 2 >= 0 , assim a expressão é equivalente a:

|x| + |x - 1| + |x - 2| = x + (x - 1) + (x - 2) = x + x - 1 + x - 2 = 3 x - 3

Juntando então temos que:

|2 x - 1| + |x - 2| = {[[- 3 x + 3 s e x <= 0],[- x + 3 s e 0 < x <= 1],[x + 1 s e 1 < x <= 2],[3 x - 3 s e x >= 2]])

E aí? Conseguiu entender? Responde Aí! 😎

Resposta

|2 x - 1| + |x - 2| = {[[- 3 x + 3 s e x <= 0],[- x + 3 s e �� 0 < x <= 1],[x + 1 s e 1 < x <= 2],[3 x - 3 s e x >= 2]])

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