Enunciado

Uma xícara de café fresco tem uma temperatura de 95   ° C em um ambiente de 20 ° C . Quandi sua temperatura for de 70   ° C sua taxa de resfriamento será de 1   ° C por minuto. Quando isso ocorre?

Passo 1

Este é um problema sobre a lei de resfriamento de Newton, dada pela equação diferencial

d T d t = k ( T - T s )

Chamando y = T - T s , a equação fica

d y d t = k y ⇒ y = A e k t

Note que A representa a diferença de temperatura inicial:

t = 0 ⇒ y = T 0 - T s = A

Portanto,

T ( t ) = T s + T 0 - T s   e k t

Essa é a solução geral para o problema do resfriamento exponencial!

Netse caso, temos T 0 = 95   ° C e T s = 20   ° C :

T t = 20 + 75 e k t

Passo 2

Derivando a equação com relação ao tempo, obtemos

d T d t t = 75 k e k t

O enunciado fala que quando T t = 70   ° C , temos que

d T d t t = - 1   ° C / m i n

Assim,

- 1 = k ⋅ 75 e k t

Mas como T t = 70   ° C , da equação da temperatura:

70 = 20 + 75 e k t ⇒ 75 e k t = 50

Portanto,

- 1 = k ⋅ 50 ⇒ k = - 1 50 = - 0,02

Passo 3

Assim,

75 e - 0,02 t = 50 ⇒ e 0,02 t = 75 50 = 3 2

Logo,

0,02   t = ln ⁡ 3 2 ⇒ t = 20,3   m i n

Resposta

t = 20,3   m i n

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