Enunciado

A reta t é dada pela interseção dos planos x +   y +   z = 1 e 2 x + 3 y +   z = 6 . Determinar o ponto de t cuja distância até a origem seja mínima.

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de aproximação. E as condições serão:

s . a .                         x +   y +   z = 1

s . a .                   2 x + 3 y +   z = 6

Como nós queremos minimizar a distância vamos usar a fórmula:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Sabendo que ( x 0 , y 0 , z 0 ) são referentes ao ponto 0 ,   0 ,   0 . Substituindo:

d = x 2 + y 2 + z 2

Então, nós teremos o seguinte problema de otimização:

min ⁡                                 x 2 + y 2 + z 2

s . a .                                 x +   y +   z = 1

                                          2 x + 3 y +   z = 6

Como a função a ser otimizada é x 2 + y 2 + z 2 nós podemos adaptar o nosso problema para que ele fique mais simples:

min ⁡                                 x 2 + y 2 + z 2

s . a .                                 x +   y +   z = 1

                                          2 x + 3 y +   z = 6

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x 2 + y 2 + z 2 - λ ( x +   y +   z - 1 ) - α ( 2 x + 3 y +   z - 6 )

Derivando L em relação às variáveis x, y, z, λ   e α e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 x - λ - 2 α = 0

∂ L ∂ y = 2 y - λ - 3 α = 0

∂ L ∂ z = 2 z - λ - α = 0

∂ L ∂ λ = - ( x +   y +   z - 1 ) = 0

∂ L ∂ α = - ( 2 x + 3 y +   z - 6 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = y - α 2

Se igualamos a segunda e a terceira achamos:

y = z + α

Colocando na quarta equação:

x +   y +   z - 1 = 0

y - α 2 +   y + y - α = 1

y = α 2 + 1 3

Agora vamos substituir em x:

x = α 2 + 1 3 - α 2 = 1 3

E em z:

z = α 2 + 1 3 - α = 1 3 - α 2

Passo 3

Agora nós substituímos estes novos valores na última equação;.

2 x + 3 y +   z - 6 = 0

2 × 1 3 + 3 α 2 + 1 3 +   1 3 - α 2 = 6

Resolvendo nós achamos:

α = 4

Com isso conseguimos achar y e z:

y = 4 2 + 1 3 = 7 3

z = 1 3 - 4 2 = - 5 3

Qual será nosso ponto então?

Isso mesmo, 1 3 , 7 3 ,   - 5 3 .

Beleza galera, finalizamos mais umaa !!

Resposta

1 3 , 7 3 ,   - 5 3 .

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