Enunciado

36. Encontra os valores máximo e mínimo de x 3 + 2 com 0 ≤ x ≤ 3 . Use tais valores, junto as desigualdades do exercício 35, para encontrar cotas no valor da integral

Passo 1

A desigualdade que o problema se refere é essa aqui:

f for contínua e se m ≤ f ( x ) ≤ M em [ a , b ] , então

m ( b - a ) ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Passo 2

Vamos chamar f x = x 3 + 2 e o intervalo vai ser [ 0,3 ] .

Vamos precisar achar os valores máximos e mínimos da função f ( x ) no intervalo [ 0,3 ] .

Para isso precisamos achar a derivada e ver quais valores anulam a derivada, quais valores fazem com que a derivada não exista.

Após isso vamos testar os valores que achamos acima e os pontos extremos do nosso intervalo, no problema são os pontos 0 e 3 .

Vamos derivar f ( x ) .

f ´ x = ( x 3 + 2 ) ' 2 x 3 + 2 = 3 x 2 2 x 3 + 2

Para quais valores f ´ x é igual a zero?

3 x 2 2 x 3 + 2 = 0

Para x = 0

E para quais valores f ´ x não existe?

Ora precisamos ter

x 3 + 2 = 0

x 3 + 2 = 0

x 3 = - 2

x = - 2 3

Só que esse valor não está no intervalo, então podemos descartar, então nossas possibilidades de ponto máximo são

x = 0   ( P o r   a n u l a r   a   d e r i v a d a )

x = 3   ( P o r   s e r   u m   e x t r e m o   d o   i n t e r v a l o )

x = 0   ( P o r   s e r   u m   e x t r e m o   d o   i n t e r v a l o )

Porém esses dois zeros, a gente considera como apenas um, Agora vamos fazer:

f 3 = 3 3 + 2 = 27 + 2 = 29

f 0 = 0 3 + 2 = 0 + 2 = 2

Então o ponto de máximo é 3 e o de mínimo é o 0 .

Passo 3

Agora que já sabemos quais são os valores máximo e mínimo da integral, podemos escrever como inequação, dessa forma:

2 ≤ x 3 + 2 ≤ 29

Aplicando a desigualdade do exercício 35, temos:

2 ( 3 - 0 ) ≤ ∫ 0 3 x 3 + 2 d x ≤ 29 ( 3 - 0 )

Ajeitando:

3 2 ≤ ∫ 0 3 x 3 + 2 d x ≤ 3 29

Resposta

3 2 ≤ ∫ 0 3 x 3 + 2 d x ≤ 3 29

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