Enunciado

Encontrando um centroide: encontre um centroide da região do primeiro quadrante delimitado pelo eixo x, a parábola y 2 = 2 x e a reta x + y = 4 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y 2 = 2 x   e   x + y = 4

E analisando o gráfico para o primeiro quadrante, temos:

Vemos que y ∈ 0,2 e x ∈ y 2 2 ,   4 - y

E temos que:

x c e n t = ∬ y   d x d y M

E análogo para y c e n t

y c e n t = ∬ x   d x d y M

E para M:

M = ∬ d x d y

Passo 2

Para M:

M = ∫ 0 2 ∫ y 2 2 4 - y d x d y

∫ 0 2 ( x y 2 2 4 - y     d y

∫ 0 2 4 - y - y 2 2 d y

( 4 y 0 2 - 1 2 y 2 0 2 - 1 6 y 3 0 2

M = 14 3

Passo 3

Para x c e n t :

M y = ∫ 0 2 ∫ y 2 2 4 - y x   d x d y

∫ 0 2 ( 1 2 x 2 y 2 2 4 - y d y

1 2 ∫ 0 2 16 - 8 y + y 2 - y 4 4 d y

1 2 16 y 0 2 - 4 y 2 0 2 + 1 3 y 3 0 2 - 1 20 y 5 0 2

M y = 128 15

Para M x :

M x = ∫ 0 2 ∫ y 2 2 4 - x y   d x d y

∫ 0 2 ( y x y 2 2 4 - x   d y

∫ 0 2 y 4 - y - y 2 2 d y

  2 y 2 0 2 - 1 3 y 3 0 2 - 1 8 y 4 0 2

M x = 10 3

Assim, como já dito anteriormente:

x c e n t = M y M

y c e n t = M x M

Logo

x c e n t = 128 15 14 3 = 64 35

E

y c e n t = 10 3 14 3 = 5 7

Resposta

x c e n t = 64 35

E

y c e n t = 5 7

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