Enunciado

Encontre o centro de massa do sólido E com a dada função de densidade ρ .

E que é o tetraedro delimitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0 ,   x + y + z = 1 , ρ x , y , z = y .

Passo 1

Fala, galera! Tudo joia?

Nesse exercício, iremos analisar o sólido E que é delimitado pelos planos:

x = 0

y = 0

  z = 0

  x + y + z = 1

com função densidade

ρ x , y , z = y

A questão pede para encontrarmos o centro de massa desse sólido E . O centro de massa está localizando no ponto ( x , - y , - z - ) , onde:

x - = M y z m

y - = M x z m

z - = M x y m

Onde m é a massa do sólido dada por:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

E M são os momentos em relação aos planos, que são calculados por:

M y z = ∭ E x   ρ x , y , z d V

M x z = ∭ E y   ρ x , y , z d V

M x y = ∭ E z ρ x , y , z d V

Percebe que também falta acharmos os limites de integração das nossas integrais triplas. Como a função que estamos integrando está em relação a 3 variáveis x , y , z , temos que achar os limites de integração para cada uma delas. Para achar esses limites vamos achar a projeção do nosso sólido no plano x y e seu comportamento em relação ao eixo z .

Em resumo, precisaremos achar a massa m e cada um dos momentos M , para assim acharmos a localização do centro de massa.

Vem!

Passo 2

Vamos começar achando nossos limites de integração:

A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:

tetraedro delimitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0 ,   x + y + z = 1 , com função densidade ρ x , y , z = y .

Lembrando que estamos interessados somente na parte acima do plano x y , devido ao limite z = 0 .

  • Para achar os limites de x : fazemos y = 0 e z = 0 assim a gente entende qual é a interseção do tetraedro em x :
  • x + 0 + 0 = 1

    Então, temos que:

    0 ≤ x ≤ 1

    O valor mínimo de x é zero devido ao limite do plano x = 0 .

  • Para achar os limites de y :
  • Sabemos que y começa em zero pelo plano y = 0 . Para saber onde y vai, fazemos z = 0 , assim estaremos olhando só para o plano x y :

    x + y + 0 = 1

    Isolando y :

    y = 1 - x

    Então:

    0 ≤ y ≤ 1 - x

  • Para achar os limites de z : temos que z = 0 . Isolando   z :

x + y + z = 1

Temos:

z = 1 - x - y

Então:

0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Passo 3

Agora que temos nossos limites de integração definidos, podemos começar a calcular as integrais triplas. Vamos começar pela integral da massa m :

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y y   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z , tratando as demais variáveis como constantes:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y z z = 0 z = 1 - x - y d y d x =

Aplicando os limites de integração em z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 1 - x - y - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y 1 - x - y 2 ] d y d x

Passo 4

Agora iremos integrar em função de y , tratando x como constante:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y 1 - x - y 2 ] d y d x = ∫ 0 1 1 2 y 2 1 - x - 1 3 y 3 y = 0 y = 1 - x d x

Aplicando os limites em y :

∫ 0 1 1 2 1 - x 2 1 - x - 1 3 1 - x 3 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 1 6 1 - x 3 d x = 1 6 ∫ 0 1 ( 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3 ) d x

Agora iremos integrar em relação a x :

1 6 ∫ 0 1 ( 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3 ) d x = 1 6 x - 3 2 x 2 + x 3 - 1 4 x 4 0 1

Aplicando nossos limites de integração:

1 6 1 - 3 2 1 2 + 1 3 - 1 4 1 4 - 0

Dessa forma, a massa é:

m = 1 24

Passo 5

Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo x :

M y z = ∫ ∫ ∫ x ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y x y   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z e tratando as demais incógnitas como se fossem constantes:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y z z = 0 z = 1 - x - y d y d x =

Aplicando os limites em z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y 1 - x - y - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y x - x 2 - x y 2 ] d y d x

Agora iremos integrar em função de y , tratando x como constante:

∫ 0 1 1 2 y 2 x - x 2 - 1 3 x y 3 y = 0 y = 1 - x d x =

Aplicando os limites em y :

∫ 0 1 1 2 1 - x 2 x - x 2 - 1 3 x 1 - x 3 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 1 6 x 1 - x 3 d x = 1 6 ∫ 0 1 ( x - 3 x 2 + 3 x 3 - x 4 ) d x

Agora iremos integrar em relação a x :

1 6 1 2 x 2 - x 3 + 3 4 x 4 - 1 5 x 5 0 1 =

Aplicando os limites:

1 6 1 2 1 2 - 1 2 + 3 4 1 4 - 1 5 1 5 - 0

Dessa forma, temos:

M y z = 1 120

Passo 6

Vamos calcular nosso momento M x z :

M x z = ∫ ∫ ∫ y ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y y 2   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z , tratando y como constante:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 2 z z = 0 z = 1 - x - y d y d x =

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 2 1 - x - y - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y 2 1 - x - y 3 ] d y d x

Agora iremos integrar em função de y , tratando x como constante:

∫ 0 1 1 3 y 3 1 - x - 1 4 y 4 y = 0 y = 1 - x d x

Aplicando os limites em x :

= ∫ 0 1 1 3 1 - x 3 1 - x - 1 4 1 - x 4 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

1 12 ∫ 0 1 1 - x 4 d x

Agora iremos integrar em relação a x :

1 12 - 1 5 1 - x 5 0 1 =

Aplicando os intervalos de integração:

1 12 - 1 5 1 - 1 5 - - 1 5 1 - 0 5

Dessa forma, temos:

M x z = 1 60

Passo 7

Calma que falta mais um momento para calcularmos. É o último! Agora com relação ao eixo z :

M x y = ∫ ∫ ∫ z ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y y z   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z , que é a integral mais interna, olhando y como constante:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 2 y z 2 z = 0 z = 1 - x - y d y d x =

Aplicando nossos limites de integração:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 2 y 1 - x - y 2 - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ 1 - x 2 y - 2 1 - x y 2 + y 3 ] d y d x

Agora iremos integrar em função de y :

1 2 ∫ 0 1 1 2 y 2 1 - x 2 - 2 3 y 3 1 - x + 1 4 y 4 y = 0 y = 1 - x d x

E aplicar nossos intervalos de integração:

= ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 1 - x 2 - 2 3 1 - x 3 1 - x + 1 4 1 - x 4 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

1 24 ∫ 0 1 1 - x 4 d x =

Agora iremos integrar em relação a x :

1 24 - 1 5 1 - x 5 0 1 =

Aplicando os intervalos:

1 24 - 1 5 1 - 1 5 - - 1 5 1 - 0 5

Dessa forma, temos:

M x y = 1 120

Passo 8

Chegamos ao final! Com os valores de massa e momentos em mãos, basta substituirmos.

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Com isso, o centro de massa é dado por:

x - , y - , z - = 1 120 1 24 , 1 60 1 24 , 1 120 1 24

Sendo assim:

x - , y - , z - = 1 5 , 2 5 , 1 5

Resposta

m = 1 24

x - , y - , z - = 1 5 , 2 5 , 1 5

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