Enunciado

Encontre o centro de massa do sólido E com a dada função de densidade ρ .

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar o sólido E que é o tetraedro delimitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0 ,   x + y + z = 1 , com função densidade ρ x , y , z = y .

A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:

Lembrando que estamos interessados somente na parte acima do plano x y , devido ao limite z = 0 .

Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y y   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y z z = 0 z = 1 - x - y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 1 - x - y - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y 1 - x - y 2 ] d y d x

Passo 2

Agora iremos integrar em função de y :

∫ 0 1 1 2 y 2 1 - x - 1 3 y 3 y = 0 y = 1 - x d x = ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 1 - x - 1 3 1 - x 3 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 1 6 1 - x 3 d x = 1 6 ∫ 0 1 ( 1 - 3 x + 3 x 2 - x 3 ) d x

Agora iremos integrar em relação a x :

1 6 x - 3 2 x 2 + x 3 - 1 4 x 4 0 1 = 1 6 1 - 3 2 1 2 + 1 3 - 1 4 1 4 - 0

Dessa forma, a massa é:

m = 1 24

Passo 3

Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo x :

M y z = ∫ ∫ ∫ x ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y x y   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y z z = 0 z = 1 - x - y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y 1 - x - y - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y x - x 2 - x y 2 ] d y d x

Agora iremos integrar em função de y :

∫ 0 1 1 2 y 2 x - x 2 - 1 3 x y 3 y = 0 y = 1 - x d x = ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 x - x 2 - 1 3 x 1 - x 3 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 1 6 x 1 - x 3 d x = 1 6 ∫ 0 1 ( x - 3 x 2 + 3 x 3 - x 4 ) d x

Agora iremos integrar em relação a x :

1 6 1 2 x 2 - x 3 + 3 4 x 4 - 1 5 x 5 0 1 = 1 6 1 2 1 2 - 1 2 + 3 4 1 4 - 1 5 1 5 - 0

Dessa forma, temos:

M y z = 1 120

Passo 4

Agora com relação ao eixo y :

M x z = ∫ ∫ ∫ y ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y y 2   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 2 z z = 0 z = 1 - x - y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x y 2 1 - x - y - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ y 2 1 - x - y 3 ] d y d x

Agora iremos integrar em função de y :

∫ 0 1 1 3 y 3 1 - x - 1 4 y 4 y = 0 y = 1 - x d x = ∫ 0 1 1 3 1 - x 3 1 - x - 1 4 1 - x 4 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

1 12 ∫ 0 1 1 - x 4 d x

Agora iremos integrar em relação a x :

1 12 - 1 5 1 - x 5 0 1 = 1 12 - 1 5 1 - 1 5 - - 1 5 1 - 0 5

Dessa forma, temos:

M x z = 1 60

Passo 5

Agora com relação ao eixo z :

M x y = ∫ ∫ ∫ z ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y y z   d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z :

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 2 y z 2 z = 0 z = 1 - x - y d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 2 y 1 - x - y 2 - 0 d y d x

Simplificando a expressão, temos:

1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x [ 1 - x 2 y - 2 1 - x y 2 + y 3 ] d y d x

Agora iremos integrar em função de y :

1 2 ∫ 0 1 1 2 y 2 1 - x 2 - 2 3 y 3 1 - x + 1 4 y 4 y = 0 y = 1 - x d x = ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 1 - x 2 - 2 3 1 - x 3 1 - x + 1 4 1 - x 4 - 0 d x

E, simplificando a expressão, temos:

1 24 ∫ 0 1 1 - x 4 d x =

Agora iremos integrar em relação a x :

1 24 - 1 5 1 - x 5 0 1 = 1 24 - 1 5 1 - 1 5 - - 1 5 1 - 0 5

Dessa forma, temos:

M x y = 1 120

Com isso, o centro de massa é dado por:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Sendo assim:

x - , y - , z - = 1 5 , 2 5 , 1 5

Resposta

m = 1 24

x - , y - , z - = 1 5 , 2 5 , 1 5

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