Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 40
Encontre o centro de massa do sólido com a dada função de densidade .
Passo 1
Nesse exercício, iremos analisar o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e os planos , com função densidade .
As imagens a seguir ilustram a região de interesse descrita no enunciado:
Lembrando que estamos interessados somente na parte acima do plano , devido ao limite .
Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Passo 2
Agora iremos integrar em função de :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Dessa forma, a massa é:
Passo 3
Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo :
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em função de :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Dessa forma, temos:
Passo 4
Agora com relação ao eixo :
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em função de :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Dessa forma, temos:
Passo 5
Agora com relação ao eixo :
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em função de :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Dessa forma, temos:
Com isso, o centro de massa é dado por:
Sendo assim:
Resposta
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