Enunciado

Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

30. z = 4 x y - x 4 - 2 y 2

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = 4 x y - x 4 - 2 y 2

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = 4 y - 4 x 3

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = 4 x - 4 y

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

4 y = 4 x 3 x = y

Utilizando a relação da segunda equação na primeira, teremos o seguinte:

4 x - 4 x 3 = 0

x 3 - x = 0

x x 2 - 1 = 0

Sendo assim, temos que:

x = 0   e   x = ± 1

Portanto, pelo resultado obtido temos que nossos pontos críticos são: 0 ,   0 ,   1 ,   1   e   - 1 ,   - 1 .

Passo 2

Para classificarmos se os pontos críticos se tratam de pontos de máximo ou pontos de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = 4 y - 4 x 3

∂ 2 f ∂ x 2 = - 12 x 2

Para y :

∂ f ∂ y = 4 x - 4 y

∂ 2 f ∂ y 2 = - 4

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 4

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 4

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

Agora teremos que analisar o determinante para cada ponto crítico que encontramos, tudo bem? Sendo assim:

H 0 ,   0 = - 12 x 2 4 4 - 4 = 48 x 2 - 16 = - 16 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu menor do que zero, então 0 ,   0 é um ponto de sela.

H 1 ,   1 = - 12 x 2 4 4 - 4 = 48 x 2 - 16 = 48 - 16 = 32 > 0

∂ 2 f ∂ x 2 1 ,   1 = - 12 x 2 = - 12 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu maior do que zero e a derivada parcial de segunda ordem deu menor do que zero, então 1 ,   1 é um ponto de máximo. Por fim:

H - 1 ,   - 1 = - 12 x 2 4 4 - 4 = 48 x 2 - 16 = 48 - 16 = 32 > 0

∂ 2 f ∂ x 2 - 1 ,   - 1 = - 12 x 2 = - 12 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu maior do que zero e a derivada parcial de segunda ordem deu menor do que zero, então - 1 ,   - 1 também é um ponto de máximo.

Ufa! Demorou, mas estão aí nossos pontos críticos e suas classificações!

Resposta

Pontos críticos: 0 ,   0 ,   1 ,   1   e   - 1 ,   - 1 ;

Classificação: Ponto de sela, ponto de máximo e ponto de máximo, respectivamente.

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