Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 8.4 - Ex. 5

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desse livro

Encontrar o comprimento da curva dada.

y = 1 4 x 4 + 1 8 x 2 ,   1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Bom, pra achar comprimento de curva a gente usa a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2

Então vamos derivar nossa função primeiro...

y ' = x 3 - 1 4 x 3

Aí a gente pode aplicar na fórmula de uma vez:

L = ∫ 1 2 1 + x 3 - 1 4 x 3 2   d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral agora:

L =   ∫ 1 2 1 + x 6 - 2 x 3 ∙ 1 4 x 3 + 1 16 x 6 d x

L = ∫ 1 2 1 + x 6 - 2 x 3 ∙ 1 16 x 6 d x

L = ∫ 1 2 8 x 6 + 16 x 12 + 1 16 x 6 d x

L =   ∫ 1 2 1 4 x 3 4 x 6 + 1 2 d x

L = 1 4 ∫ 1 2 4 x 3 + x - 3   d x

L = 1 4 4 ∙ x 4 4 - 2 x 2 1 2

L = 1 4 x 4 - 1 2 x 2 1 2

L = 1 4 2 4 - 1 2 ∙ 2 2 - 1 4 + 1 2 ∙ 1 2

L = 1 4 16 - 2 8 - 1 + 1 2

L = 1 4 123 8

L = 123 32 u . c

Prontinho! Esse é o comprimento da curva pedida😉

Resposta

L = 123 32 u . c

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