Enunciado

Encontrar as dimensões de um retângulo que possui um lado no eixo x , um lado adjacente a esse no eixo y , o vértice em comum a esses lados na origem e o vértice oposto a ele na curva

y = ln ⁡ x x 2

, de forma que a área seja máxima. Calcular essa área.

Passo 1

A área do retângulo é dada como:

A x = x ∙ ln ⁡ x x 2 = ln ⁡ x x = x - 1 ln ⁡ x

Passo 2

Para encontrar o valor de x que torna A máximo, basta derivar A e igualar a zero:

A ' x = - 1 x - 2 ln ⁡ x + x - 1 ∙ 1 x = 0 ⇒ 1 x 2 = ln ⁡ x x 2 ⇒ ln ⁡ x = 1 ⇒ x = e

Passo 3

É preciso conferir se esse valor corresponde a um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão. Para isso, basta substituir na segunda derivada da área. Para que seja um ponto de máximo, a segunda derivada deve ser menor que zero naquele ponto. Veja:

A ' ' x = d d x 1 - ln ⁡ x x 2 = - 1 x ∙ x - 2 + 1 - ln ⁡ x - 2 x - 3 = 2 ln ⁡ x - 3 x 3 ⇒

⇒ A ' ' e = 2 ln ⁡ e - 3 e 3 = - 1 e 3 < 0

Portanto, de fato, x = e torna a área máxima.

Passo 4

Como as dimensões do retângulo são a = x e b = ln ⁡ x x 2 , substituímos o valor de encontrado de x e obtemos:

a = e

b = ln ⁡ e e 2 ⇒ b = 1 e 2

Passo 5

Para encontrar a área A, finalmente, fazemos:

A = a ∙ b = e ∙ 1 e 2 ⇒ A = 1 e

Resposta

As dimensões a e b e a área A são:

a = e   ;   b = 1 e   ;   A = 1 e

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