Enunciado

Use o método de Newton para estimar a única solução real de x 3 +   3 x   +   1   =   0 . Inicie com x 0 = 0 e depois calcule x 2 .

Passo 1

O método de Newton nos diz que para estimarmos uma raiz x podemos fazer a seguinte aproximação

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Em que x n diz respeito à nossa aproximação anterior, no nosso caso vamos usar os valores de x 0 fornecidos no problema para encontrarmos x 2 .

Passo 2

Primeiramente vamos calcular a derivada da função dada

f x = x 3 +   3 x   +   1 → f ' x = 3 x 2 + 3

Assim, poderemos usar a fórmula do método de Newton da seguinte forma

x 0 + 1 = x 0 - x 0 3 + 3 x 0 + 1 3 x 0 2 + 3

Sendo x 0 = 0 temos

x 1 = 0 - 0 + 0 + 1 0 + 3

x 1 =   - 1 3

Passo 3

Utilizando novamente o método de Newton poderemos descobrir o valor de x 2

x 1 + 1 = x 1 - x 1 3 + 3 x 1 + 1 3 x 1 2 + 3

x 2 = - 1 3 - - 1 3 3 + 3 ⋅ - 1 3   + 1 3 ⋅ - 1 3 2 + 3

x 2 = - 1 3 - - 1 27 - 1 + 1 3 ⋅ 1 9 + 3

x 2 = - 1 3 - - 1 27 1 3 + 3

x 2 = - 1 3 - - 1 27 10 3

x 2 = - 1 3 - - 1 27 10 3

x 2 = - 1 3 + 1 90 = - 29 90 ≈   - 0.3222

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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