Enunciado

Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.

d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y . Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 0

rot ⁡ f → = ∂ 0 ∂ y - ∂ 1 x + y + 2 x y + 2 y ∂ z i → + ∂ y 2 - 3 - y x 2 + x y ∂ z - ∂ 0 ∂ x j → + ∂ 1 x + y + 2 x y + 2 y ∂ x - ∂ y 2 - 3 - y x 2 + x y ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + - 1 x + y 2 + 2 y - 2 y + 1 x 2 + x y - y x x 2 + x y 2 k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + - 1 x + y 2 + x 2 x 2 + x y 2 k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + - 1 x + y 2 + x 2 x 2 x + y 2 k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + - 1 x + y 2 + 1 x + y 2 k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Podemos observar que rot ⁡ f → = 0 → , portanto o campo vetorial é conservativo em um domínio simplesmente conexo que não contém pontos da reta y = - x , e f → admite uma função potencial f x , y .

Passo 2

Agora vamos então encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

∂ f ∂ x = y 2 - 3 - y x 2 + x y ∂ f ∂ y = 1 x + y + 2 x y + 2 y

Passo 3

Usamos a segunda equação e a integramos em função de y , assim temos:

∂ f = 1 x + y + 2 x y + 2 y ∂ y

f = ∫ 1 x + y + 2 x y + 2 y d y + a x

f = ln ⁡ x + y   x y 2 + y 2 + a x

Agora derivamos a f encontrada em função de x e comparamos com a primeira equação.

∂ f ∂ x = 1 x + y + y 2 + 0 + d a d x

Comparando com a segunda equação temos:

1 x + y + y 2 + 0 + d a d x = y 2 - 3 - y x 2 + x y

d a d x = - 3 - y x 2 + x y - 1 x + y

Podemos colocar 1 x + y em evidencia

d a d x = - 3 - 1 x + y y x + 1

Tiramos o mínimo múltiplo comum de y x + 1 e somamos

d a d x = - 3 - 1 x + y y + x x

Podemos simplificar x + y do termo - 1 x + y y + x x

d a d x = - 3 - 1 x

Agora integramos d a d x = - 3 - 1 x para encontrarmos a x .

d a d x = - 3 - 1 x

d a = - 3 - 1 x d x

a = ∫ - 3 - 1 x d x

a = - 3 x - ln ⁡ x + c

Assim temos que a função potencia f x , y é :

f x , y = ln ⁡ x + y   x y 2 + y 2 - 3 x - ln ⁡ x + c

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial conservativo em um domínio simplesmente conexo que não contém pontos da reta y = - x , f → admite uma função potencial f x , y .

f x , y = ln ⁡ x + y   x y 2 + y 2 - 3 x - ln ⁡ x + c

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