Enunciado

Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

d) f x = x 3 - x 2 ,   0 ,   5

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = x 3 - x 2

f ' x = 3 x 2 - 2 x

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = 3 x 2 - 2 x = 0

Esse resultado só é válido para:

3 x 2 - 2 x = 0

x 3 x - 2 = 0 ∴ x = 0   o u   x = 2 3

Sendo assim, x = 0 e x = 2 3 são pontos críticos da nossa função! Ademais, como nosso intervalo foi determinado em 0 ,   5 e como acabamos de descobrir que x = 0 e x = 2 3 são pontos críticos, vamos substituir esses valores na nossa função para determinar os máximos e mínimos, saca só:

f 0 = 0 3 - 0 2 = 0

f 2 3 = 2 3 3 - 2 3 2 = - 4 27

f 5 = 5 3 - 5 2 = 100

Portanto, pelos resultados:

Máximo da função ( x ,   y ) em 0 ,   5 : 5 ,   100 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em 0 ,   5 : 2 3 ,   - 4 27 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Máximo da função ( x ,   y ) em 0 ,   5 : 5 ,   100 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em 0 ,   5 : 2 3 ,   - 4 27 .

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