Enunciado

Seja f :   R 2 →   R uma função diferenciável. Mostrar que z   =   f ( x - y , y - x ) satisfaz a equação

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 0

Passo 1

Estamos tratando de um caso que parece meio estranho de regra da cadeia porque estamos acostumados a trabalhar com z =   f ( x , y ) , você pode achar os termos entre os parênteses estranhos

Mas lembra como resolvemos questões desse tipo no caso normal ??

Fica dessa forma aqui né?!

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

Passo 2

Mas agora, imagina que o nosso x é ele mesmo, mas ele é função de x-y e o y é função de y – x

Dessa forma, teríamos que os nossos termos iam ficar um pouco diferentes

Para facilitar podemos imaginar que ( x ' =   x - y   e   y ' = y - x )

Entao temos

z   =   f ( x ' , y ' )

Com

x ' = g x , y   e   y ' = h ( x , y )

Passo 3

Calculando primeiro ∂ z ∂ x

∂ z ∂ x = ∂ f x - y , y - x ∂ x ' ∂ x - y ∂ x + ∂ f x - y , y - x ∂ y '   ∂ y - x ∂ x

∂ z ∂ x = ∂ f x - y , y - x ∂ x ' 1 + ∂ f x - y , y - x ∂ y '   ( - 1 )               ( i )

E agora calcular ∂ z ∂ y

∂ z ∂ y =   ∂ f x - y , y - x ∂ x ' ∂ x - y ∂ y + ∂ f x - y , y - x ∂ y ' ∂ y - x ∂ y

∂ z ∂ y = ∂ f x - y , y - x ∂ x ' - 1 + ∂ f x - y , y - x ∂ y '   ( 1 )               ( i i )

Somando i + ( i i ) segue que

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = ∂ f x - y , y - x ∂ x ' 1 + ∂ f x - y , y - x ∂ y '   - 1

                                                        + ∂ f x - y , y - x ∂ x ' - 1 + ∂ f x - y , y - x ∂ y '   ( 1 )

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 0

Resposta

∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

f é diferenciável em (0,0)? Justifique.a) f ( x , y )= x 2 - y 2 x 2 + y 2 se ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0
f é diferenciável em (0,0)? Justifique.b) f ( x , y )= x 4 x 2 + y 2 se ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) e f ( 0,0 ) = 0
Prove que as funções dadas são diferenciáveis. f x ,y = x 2 + y 2
f é diferenciável em 0 ,0 ? Justifique. f x ,y = x 2 y x 2 + y 2 s e x ,y ≠ 0 ,0 e f 0 ,0 = 0
Prove que as funções dadas são diferenciáveis.c) f ( x , y )= x 2 y 2