Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 4.9 - Ex. 27

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desse livro

Encontre f .

f ' ' ' t = e t

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Porém, a função apresentada é a terceira derivada da função f . Dessa forma, deveremos encontrar a antiderivada três vezes para chegar na função f .Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ' ' ( t ) . Para isso, utilizaremos a regra de derivação de funções exponenciais, ficando com

f ' ' ' t = e t

f ' ' t = e t + C

Derivando f ' ' ( t ) , temos

f ' ' ' t = e t

Dessa forma, f ' ' ( t ) é a antiderivada de f ' ' ' ( t ) . Fazendo novamente a antiderivada, mas em relação a f ' ' t , temos

f ' ' t = e t + C

f ' t = e t + C t + C 1

Passo 3

Derivando f ' ( t ) , temos

f ' ' t = e t + C

Dessa forma, f ' ( t ) é a antiderivada de f ' ' ( t ) .

Agora, iremos encontrar a antiderivada de f ' ( t ) utilizando novamente a regra de derivação de funções exponenciais. Dessa forma, temos

f ' t = e t + C t + C 1

f t = e t + C 2 t 2 + C 1 t   + C 2

Derivando f ( t ) , temos

f ' t = e t + C t + C 1

Dessa forma, encontramos nossa função f , onde C , C 1 e C 2 são constantes.

Resposta

f t = e t + C 2 t 2 + C 1 t   + C 2

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