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Encontre f ' ( a ) .

f x = 3 x + 1

Passo 1

Começamos da definição de derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Agora a gente vai escrever quem é f ( a ) e quem é f ( a + h ) para jogarmos na nossa fórmula, tranquilo? Dá uma olhada:

f x = 3 x + 1

Fazendo x = a :

f a = 3 a + 1

Agora, fazendo x = a + h :

f a + h = 3 ( a + h ) + 1

Esses dois caras vão ser substituídos na expressão do noss limite, aí vai ficar desse jeitinho aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 ( a + h ) + 1 - 3 a + 1 h

Passo 2

Agora, nós vamos escrever o limite de uma forma que nós ajude a resolver o problema, fechou? Vou primeiro deixar ela assim:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 a + 3 h + 1 - 3 a + 1 h  

Arrumamos a primeira raíz do numerador um pouco, eliminando os parênteses de dentro, fazendo a multiplicação por 3 .

Para fazer aparecer números fora da raíz no numerador, temos que multiplicar pelo conjugado dele, que é 3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1 . A multiplicação tem que ser tanto em cima quanto em baixo, beleza? É isso aqui que vamos fazer:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 a + 3 h + 1 - 3 a + 1 h   .   3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1 3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1

Agora, nós temos o do produto da soma pela diferença no numerador, que é um produto notável. Seu resultado é o quadrado do primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo. Seguindo essa regra, saca só o que a gente vai ter:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 a + 3 h + 1 2 - 3 a + 1 2 h   .   3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1  

Cancelando as potências com as raízes, vai dar isso aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 a + 3 h + 1 - ( 3 a + 1 ) h   .   3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1  

Fazendo as continhas no numerador, vamos ter:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 h h   .   3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1  

Aí, ta tudo beleza agora! Arrumamos a expressão o suficiente, agora podemos tentar achar o valor desse limite!

Passo 3

Se substituirmos h = 0 para tentar resolver o limite na expressão que temos, encontraremos a indeterminação 0 0 . A gente pode resolver isso se cancelarmos o h   do numerador com o h do denominador:

f ' a = lim h → 0 ⁡ 3 3 a + 3 h + 1 + 3 a + 1  

A indeterminação já era! Vamos agora fazer a substituição h = 0 de novo, na expressão sem indeterminação, para resolver o limite, tranquilo? Saca só:

f ' a = 3 3 a + 3 . 0 + 1 + 3 a + 1

f ' a = 3 3 a + 1 + 3 a + 1

f ' a = 3 2 3 a + 1

E chegamos na nossa expressão final! É só fazer com calma, seguindo o passo a passo que dá tudo certo ;)

Resposta

Teremos que f ' a = 3 2 3 a + 1 .

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