Enunciado

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a) Encontre y ' derivando implicitamente.

b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .

c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a).

cos ⁡ x + y = 5

Passo 1

Este é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita. O enunciado fornece uma equação em y é dado implicitamente em função de x . No item (a) é pedido que se derive y implicitamente encontrando y ' em função de x e y . No item (b) é pedido que se isole y para obter y como função de x explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando y ' apenas em função de x . No item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.

Passo 2

Neste passo vamos resolver o item (a). Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Derivando a equação cos ⁡ x + y 1 / 2 = 5 com relação a x :

- s e n   x + 1 2 y - 1 2   y ' = 0

Isolando y ' , temos que

y ' 2 y 1 / 2 = s e n   x

y ' = 2   y   s e n   x

Passo 3

Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar y em função de x na equação fornecida:

y = 5 - cos ⁡ x

Elevando os dois lados ao quadrado:

y = 5 - cos ⁡ x 2

Passo 4

Neste item vamos terminar de resolver o item (b). Derivando a expressão encontrada no passo 3:

y ' = 2   5 - cos ⁡ x ⋅ 5 - cos ⁡ x ' = 2   s e n   x   ( 5 - cos ⁡ x )

Passo 5

Para encerrar, vamos fazer o item (c). Substituindo a expressão encontrada para y no passo 3 na expressão encontrada y ' no passo 2, temos que:

y ' = 2   5 - cos ⁡ x 2   s e n   x

Assim, temos que

y ' = 2   s e n   x   ( 5 - cos ⁡ x ) ,

que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).

Resposta

a) y ' = 2   y   s e n   x

b) y = 5 - cos ⁡ x 2 e y ' = 2   s e n   x   ( 5 - cos ⁡ x )

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