Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 6 x + 12 x^2

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Porém, a função apresentada é a segunda derivada da função f . Dessa forma, deveremos encontrar a antiderivada duas vezes para chegar na função f .Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') (x) = 6 x + 12 x^2

f^' (x) = (6)/(2) x^2 + (12)/(3) x^3 + C = 3 x^2 + 4 x^3 + C

Derivando f ’ ( x ) , temos

f^(' ') (x) = 6 x + 12 x^2

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Passo 3

Agora, iremos encontrar a antiderivada de f^' ( x ) utilizando novamente a regra da potência. Dessa forma, temos

f^' (x) = 3 x^2 + 4 x^3 + C

f (x) = (3)/(3) x^3 + (4)/(4) x^4 + C x + C_1 = x^3 + x^4 + C x + C_1

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = 3 x^2 + 4 x^3 + C

Dessa forma, encontramos nossa função f .

Resposta

f (x) = x^3 + x^4 + C x + C_1

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