Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 20 x^3 + 12 x^2 + 4 , f (0) = 8 , f (1) = 5

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência, ficando com

f^(' ') (x) = 20 x^3 + 12 x^2 + 4

f^' (x) = (20)/(4) x^4 + (12)/(3) x^3 + 4 x + C = 5 x^4 + 4 x^3 + 4 x + C

Derivando f ' ( x ) , temos

f^(' ') (x) = 20 x^3 + 12 x^2 + 4

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( x ) , temos

f^' (x) = 5 x^4 + 4 x^3 + 4 x + C

f (x) = (5)/(5) x^5 + (4)/(4) x^4 + (4)/(2) x^2 + C x + D = x^5 + x^4 + 2 x^2 + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = 5 x^4 + 4 x^3 + 4 x + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f (0) = 8 , temos

f (x) = x^5 + x^4 + 2 x^2 + C x + D

f (0) = 0^5 + 0^4 + 2 ( 0 )^2 + C ( 0 ) + D

D = 8

Aplicando f (1) = 5 , temos

f (x) = x^5 + x^4 + 2 x^2 + C x + D

f (1) = 1^5 + 1^4 + 2 ( 1 )^2 + C + 8

C = - 7

Resposta

f (x) = x^5 + x^4 + 2 x^2 - 7 x + 8

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