Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 6 x + s e n x

Passo 1

E aí, pessoal!

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Porém, a função apresentada é a segunda derivada da função f . Dessa forma, deveremos encontrar a antiderivada duas vezes para chegar na função f .

Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Veja só!

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos a regra da potência e a regra de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f^(' ') (x) = 6 x + s e n x -> f^' (x) = (6)/(2) x^2 - cos x + C

f^' (x) = 3 x^2 - cos x + C

Derivando f ’ ( x ) , temos

f^(' ') (x) = 6 x + s e n x

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Show?

Passo 3

Agora, iremos encontrar a antiderivada de f^' ( x ) utilizando novamente a regra da potência e a regra de derivação de funções trigonométricas. Dessa forma, temos

f^' (x) = 3 x^2 - cos x + C -> f (x) = (3)/(3) x^3 - s e n x + C x + C_1

f (x) = x^3 - s e n x + C x + C_1

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = 3 x^2 - cos x + C

Dessa forma, encontramos nossa função f , onde C_1 e C são constantes.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f (x) = x^3 - s e n x + C x + C_1

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A função y = f x , x ∈ R , é tal que f 0 = 1 e f ' x = - 2f x para todo x . Esboce o gráfico de f .
Calculeu)int (2 + s e n ((x)/(3))) d x
Calculeq)int (x + e^(3 x)) d x
Calculet)int (1 - cos (4 x)) d x
Calculer)int (3 + e^(- x)) d x