Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (t) = 2 e^t + 3 s e n t , f (0) = 0 , f (pi) = 0

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( t ) . Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas e exponenciais, ficando com

f^(' ') (t) = 2 e^t + 3 s e n t

f^' (t) = 2 e^t - 3 cos t + C

Derivando f ' ( t ) , temos

f^(' ') (t) = 2 e^t + 3 s e n t

Dessa forma, f^' ( t ) é a antiderivada de f^(' ') ( t ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( t ) , temos

f^' (t) = 2 e^t - 3 cos t + C

f (t) = 2 e^t - 3 s e n t + C t + D

Derivando f ( t ) , temos

f^' (t) = 2 e^t - 3 cos t + C

Dessa forma, f ( t ) é a antiderivada de f^' ( t ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f (0) = 0 , temos

f (t) = 2 e^t - 3 s e n t + C t + D

f (0) = 2 e^0 - 3 s e n 0 + C (0) + D

D = - 2

Aplicando f (pi) = 0 , temos

f (t) = 2 e^t - 3 s e n t + C t - 2

f (pi) = 2 e^(pi) - 3 s e n pi + C pi - 2

C = (2 - 2 e^(pi))/(pi)

Resposta

f (t) = 2 e^t - 3 s e n t + (2 - 2 e^(pi))/(pi) t - 2

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