Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 6
Esboce a área representada por . A seguir encontre de duas maneiras: (a) utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental e (2) calculando a integral usando a parte 2 e então derivando.
Passo 1
Devemos achar a derivada de de duas formas diferentes: como é definida como uma integral, podemos primeiro calcular a integral usando uma primitiva para a função , ou podemos aplicar a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e encontrar diretamente.
Passo 2
O esboço da função área feito com auxílio do computador é:
Passo 3
Item (a):
Vamos usar a primeira parte do TFC para calcular diretamente sem encontrar uma expressão fechada para . Relembrando o teorema:
Neste caso, temos e . Assim, como e , temos que
Passo 4
Item (b):
Vamos achar encontrando primeiro e depois derivando!!! Aplicando a segunda parte do teorema fundamental do cálculo:
, onde é uma primitiva de
Assim, devemos achar uma primitiva de :
Assim, a função fica
Derivando :
Observe que é a mesma resposta obtida no item (a).
Resposta
.