Enunciado

Esboce a área representada por g ( x ) . A seguir encontre g ' de duas maneiras: (a) utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental e (2) calculando a integral usando a parte 2 e então derivando.

g x = ∫ 0 x ( 1 + t )   d t

Passo 1

Devemos achar a derivada de g de duas formas diferentes: como g é definida como uma integral, podemos primeiro calcular a integral usando uma primitiva para a função 1 + t , ou podemos aplicar a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e encontrar g ' diretamente.

Passo 2

O esboço da função área g ( x ) feito com auxílio do computador é:

Passo 3

Item (a):

Vamos usar a primeira parte do TFC para calcular g ' diretamente sem encontrar uma expressão fechada para g ( x ) . Relembrando o teorema:

∫ 0 u x f t d t ' = f u x ⋅ u ' x

Neste caso, temos f t = 1 + t e u x = x . Assim, como u ' x = 1 e f u x = f x = 1 + x , temos que

g ' x = 1 + x ⋅ 1 = 1 + x

Passo 4

Item (b):

Vamos achar g ' encontrando primeiro g ( x ) e depois derivando!!! Aplicando a segunda parte do teorema fundamental do cálculo:

∫ 0 x f t d t = F x - F ( 0 ) , onde F é uma primitiva de f

Assim, devemos achar uma primitiva de f t = 1 + t = 1 + t 1 / 2 :

F t = t + t 1 2 + 1 1 2 + 1 = t + 2 3 t 3 2

Assim, a função g fica

g x = F x - F 0 = t + 2 3 t 3 2 0 x = x + 2 3 x 3 2 - 0 = x + 2 3 x 3 2

Derivando g :

g ' x = x + 2 3 x 3 2 ' = 1 + 2 3 ⋅ 3 2 x 1 2 = 1 + x

Observe que é a mesma resposta obtida no item (a).

Resposta

g ' x = 1 + x .

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Calcule F' (x) sendo F dada por j) F x =∫ 0 x x - 1 e - t 2 d t
Calcule F'(x) sendo F dada por b) F x =∫ 2 x s e nt 2 d t
Calcule F' (x) sendo F dada por g) F x =x 3 ∫ 1 x e - s 2 d s
Calcule F' (x) sendo F dada por e) F x =∫ 0 2 x c o st 2 d t
Calcule ∫ 0 1 F x d x onde F x =∫ 1 x e - t 2 d t . (Sugestão: integre por partes.)