Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (t) = t^2 + (1)/(t^2) , t > 0 , f (2) = 3 , f^' (1) = 2

Passo 1

Vamos lá, para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F^' (x) = f (x)

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F (x) + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função:

f^(' ') (t) = t^2 + (1)/(t^2) = t^2 + t^(- 2)

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 , de c f (x) , de uma constante e de (1)/(x) são da forma:

(x^(n + 1))/(n + 1)

c F (x)

c x

ln x

Agora é só aplicar:

f^' (t) = (t^(2 + 1))/(2 + 1) + (t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (t^3)/(3) + (t^(- 1))/(- 1) + C = (t^3)/(3) - (1)/(t) + C

Passo 3

Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' (t) , usando as fórmulas de antiderivada do passo 2 :

f (t) = (1)/(3) * (t^(3 + 1))/(3 + 1) - ln t + C t + D = (t^4)/(12) - ln t + C t + D

Passo 4

Por último é só vamos aplicar os pontos f (2) = 3 e f^' (1) = 2 para achar o valor de C e D , vamos lá:

f^' (t) = (t^3)/(3) - (1)/(t) + C -> f^' (1) = (1^3)/(3) - (1)/(1) + C = 2 -> (1)/(3) - 1 + C = 2 -> C = 2 + 1 - (1)/(3) ->

C = (6 + 3 - 1)/(3) = (8)/(3)

f (t) = (t^4)/(12) - ln t + C t + D -> f (2) = (2^4)/(12) - ln 2 + C * 2 + D = 3 -> (4)/(3) - ln 2 + 2 C + D = 3 ->

2 C + D = 3 - (4)/(3) + ln 2 -> D = 3 - (4)/(3) + ln 2 - 2 * (8)/(3) = (9 - 4 - 6)/(3) + ln 2 = - (1)/(3) + ln 2

Substituindo o valor de C e D na expressão:

f (t) = (t^4)/(12) - ln t + C t + D = (t^4)/(12) - ln t + (8)/(3) t - (1)/(3) + ln 2

Pronto, achamos f !!

Resposta

f (t) = (t^4)/(12) - ln t + (8)/(3) t - (1)/(3) + ln 2

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