Enunciado

Use o método do Exemplo 3 para ajudar a efetuar a derivação indicada:

d d x [ ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 ]

Passo 1

Nesta seção, o assunto estudado é “Derivadas de Funções Logarítimicas”. Aqui, as propriedade de logaritmo devem ser usadas para converter produtos, quocientes, e expoentes em, somas, diferenças e múltiplos de constantes antes de diferenciar a função envolvendo logaritmo.

Observe a estrutura da função a ser diferenciada:

d d x [ ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 ]

Como a função está expressa em termos de logaritmo, usaremos as propriedades de logaritmo ao nosso favor. E aqui vamos usar duas propriedades de logaritmo importantes:

Retornando a nossa função, aplicando essas propriedades:

d d x ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 = d d x [ 3 . ln ⁡ x - 1 + 4 . ln ⁡ x 2 + 1 ]

O resultado dessa derivada é a soma das derivadas dos logaritmos naturais:

d d x ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 = d d x 3 . ln ⁡ x - 1 + d d x [ 4 . ln ⁡ x 2 + 1 ]

Calcularemos essas derivadas separadamente, chamando as subfunções de A e B :

A = d d x 3 . ln ⁡ x - 1

B = d d x [ 4 . ln ⁡ x 2 + 1 ]

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a derivada A :

A = 3 . d d x ln ⁡ x - 1

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 3 . l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 u

u = ( x - 1 )

u ' = 1

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

A ' = 3 . 1 u . 1 = 3 . 1 ( x - 1 )

Reorganizando a fórmula, temos:

A ' = 3 ( x - 1 )

Passo 3

Agora, vamos resolver a derivada B :

B = d d x [ 4 . ln ⁡ x 2 + 1 ]

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 4 . l n ⁡ ( u )

f ' u = 4 u

u = ( x 2 + 1 )

u ' = 2 x

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

B ' = 4 u . 2 x = 8 x ( x 2 + 1 )

Reorganizando temos:

B ' = 8 x ( x 2 + 1 )

Passo 4

Retornando para o foco principal do problema, a resolução da diferenciação logarítmica :

d d x ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 = d d x 3 . ln ⁡ x - 1 + d d x [ 4 . ln ⁡ x 2 + 1 ]

d d x ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 = A ' + B '

d d x ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 = 3 ( x - 1 ) + 8 x ( x 2 + 1 )

Resposta

d d x ln ⁡ x - 1 3 ( x 2 + 1 ) 4 = 3 ( x - 1 ) + 8 x ( x 2 + 1 )

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