Encontre dy / dx :

y = ln(arccos(x))

Passo 1

Para solucionar esse problema, utilizaremos a regra da cadeia, pois trata-se de uma função composta do tipo:

f g x

Considerando nossa função:

y = l n ⁡ ( a r c cos ⁡ x )

Para usar a regra da cadeia, faremos :

f u = ln ⁡ u

d f u d u = 1 u

u = cos - 1 ⁡ ( x )

Passo 2

Para derivar uma função trigonométrica desse tipo, vamos considerar que u é uma função diferenciável de x , permitindo que a Regra da Cadeia produza uma versão generalizada para resolver essa diferencial:

d u d x = d cos - 1 ⁡ x d x = - 1 1 - x 2 . d [ x ] d x  

Aplicando na fórmula, temos que:

d u d x = - 1 1 - x 2

Passo 3

Agora, podemos aplicar na regra da cadeia, que diz que:

d y d x = d y d u . d u d x

Substituindo os termos calculados, temos que:

d y d x = 1 u . - 1 1 - x 2

Substituindo u na equação :

d y d x = 1 cos - 1 ⁡ ( x ) . - 1 1 - x 2

Reorganizando :

d y d x = - 1 cos - 1 ⁡ ( x ) 1 - x 2

Resposta

d y d x = - 1 cos - 1 ⁡ ( x ) 1 - x 2

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